DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.



La distribución exponencial está basada en la teoría de colas, estas colas se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, po los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.



ìNDICE.
Introducción.
Descubrimiento.
Aplicación.
Definición.
Propiedades.
Demostración.
Grafica.
Problemas de aplicación.
Problemas propuestos al programa.
Bibliografía.

Introducción.


Los objetivos de la teoría de colas consisten en:
  • Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
  • Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
  • Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
  • Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.



Descubrimiento.

La distribución exponencial vienen derivada de la distribución de Poisson, ya que al suponerse que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.
El descubrimiento de este distribución se debe a dos personas:

1.- Agner Krarup Erlang
Nace el 01 de enero de 1878, Lønborg, Jutlandia, Dinamarca. Y muere el 3 de febrero de 1929 en Copenhague, Dinamarca.
Fue un matemático que realizó estudios de matemáticas en la universidad de Copenhague, licenciándose en 1901. Los siguientes 7 años los pasó dando clases en varios colegios e investigando en diversos campos de las matemáticas.
Como miembro de la asociación de matemáticos de Dinamarca (Matematisk Forening), entabló amistad con Johan L.W.V. Jensen, ingeniero jefe de la Compañía de Teléfonos de Copenhague (KTAS), que lo presentó al director de la misma Fritz Johannsen. Este le hizo una propuesta para entrar a trabajar en su compañía como asesor científico, y en 1908 ocupó su puesto como encargado del laboratorio de investigación científica, aplicando sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas del tráfico telefónico (T.T.).
En 1909 publicó su primer trabajo sobre la teoría del T.T. “Teoría de probabilidades y conversaciones telefónicas”, que despertó un gran interés entre los expertos en este campo de las compañías telefónicas.
Erlang siguió trabajando en su laboratorio y colaborando con Jensen y posteriormente con su sucesor como ingeniero jefe P. V. Christensen, en aspectos teóricos de ingeniería telefónica, como la aplicación de bobinas de carga en cables telefónicos, o en trabajos relacionados con aparatos de medición de distintas variables en sistemas telefónicos.
En 1917 publicó el que sería su trabajo mas importante en el terreno del T.T. “ Soluciones a problemas importantes de la teoría de probabilidades aplicada a centrales automáticas de conmutación telefónica” traducido al alemán, francés e inglés y publicado en periódicos técnicos de varios países, proporcionándole a Erlang renombre internacional.
Las trabajos de Erlang son la base de la actual “teoria de colas” (Queuing theory) aplicable no solo a problemas de T.T., si no a todos aquellos relacionados con la congestión y tiempos de espera.
El nombre de Erlang fue usado en los países escandinavos, desde principios de 1944, para designar la unidad de tráfico telefónico y en 1946 fue reconocido como tal en la XIV Asamblea Plenaria del Comité Consultivo Internacional Telefónico (CCIF).
A partir de 1987 la compañía de telefonía Ericsson empezó experimentar con un nuevo lenguaje de programación para sus sistemas de conmutación telefónica al que dio el nombre de Erlang.

2.- Siméon Denis Poisson
Matemático, astrónomo y físico francés. Fue alumno de Lagrange y Laplace en l’École Polytechnique, donde comenzó su actividad docente como ayudante de Fourier.
Miembro de la Academia de Ciencias, presidente del Bureau des Longitudes y profesor de mecánica de la Facultad de Ciencias, para Poisson “la vida es trabajo”. De su esfuerzo continuado a lo largo de su vida surgieron más de trescientas obras que recogen importantes aportaciones a la física (elasticidad, magnetismo, calor, capilaridad, mecánica celeste,…) y a la matemática (teoría de números, probabilidad, series de Fourier,…).
Su nombre está asociado a un buen número de conceptos relacionados con estas ciencias: ecuación de Poisson, coeficiente de Poisson, ley de Poisson, paréntesis de Poisson, distribución de Poisson, integral de Poisson
Poisson nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers, ciudad en la que su padre había sido destinado en un modesto puesto administrativo tras combatir como soldado en la guerra de los siete años. Huérfano a los 15 años, fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, que se salda con la muerte del paciente pocas horas después, le llevan a abandonar la cirugía. De vuelta a casa encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro.
En 1798 consigue ingresar con el número uno en la Escuela Politécnica y dos años más tarde publica sus primeras memorias en el Recueil des savants étrangers, un honor excepcional para un joven de 18 años. Sus rápidos progresos llaman la atención de Laplace y Lagrange. En éstos, encontró Poisson la fuente para aprender los conceptos matemáticos y el apoyo para progresar profesionalmente, y con ellos compartió los principios de la matemática de la Revolución:
  • La prioridad de los resultados prácticos sobre el rigorprocedimental.
  • El interés por la matemática aplicada, la mecánica y la física.
  • La preocupación por la enseñanza de la matemática a través de la elaboración de excelentes manuales.
  • La consideración social de las matemáticas como instrumento necesario para el progreso y el bienestar de los ciudadanos: “el progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas –decía Napoleón- están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”
Dos años después de su ingreso como alumno, en 1800, Poisson es nombrado repetidor, dos años más tarde profesor suplente y en 1806 ya es profesor titular de la Escuela Politécnica en sustitución de otro grande de la física y la matemática: Jean-Baptiste Joseph Fourier.
Comienza así una fulgurante carrera jalonada por reconocimientos y honores. En 1808 ingresa como astrónomo en el Bureau des Longitudes y un año más tarde es nombrado catedrático de mecánica racional de la Facultad de Ciencias de la Sorbona. En 1812 ingresa en la Academia de Ciencias, en 1820 en el Consejo Real de Instrucción Pública, desde donde dirige la enseñanza de las matemáticas en todos los colegios de Francia. En 1827 es nombrado geómetra del Bureau des Longitudes en sustitución de Laplace y en 1837 el rey Luís Felipe de Orleans le nombra par de Francia como representante de la ciencia francesa.
Poisson fue considerado por sus contemporáneos un gran científico y un excelente profesor pero también una persona obstinada y con excesivo amor propio, dado a discusiones y controversias. Entre ellas, podemos citar (Pajares, 1955) la mantenida con Laplace sobre la teoría de la capilaridad; con Fourier sobre la teoría del calor y con Fresnel, sobre la teoría ondulatoria. O el rechazo, junto con Lacroix, de la memoria presentada por Galois sobre las condiciones “para que una ecuación de grado primo sea resoluble por radicales” que tanta trascendencia ha tenido en el desarrollo de la matemática.
La obra: Poisson dedicó su vida a la investigación y enseñanza de las matemáticas. De su mano surgieron numerosa memorias (sus biógrafos las cifran entre 300 y 400) con aportaciones originales en muchos campos. Y una serie de tratados con los que pretendió formar una gran obra de física matemática que no llegó a concluir.



Aplicación.

Las características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran parte por dos propiedades estadísticas:
Ø Distribución de los tiempos entre llegadas
Ø Distribución de los tiempos de servicio

Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones.
Ø Suficientemente realista.- Que son las predicciones razonables.
Ø Suficientemente sencilla.- Que es matemáticamente manejable

Y ambas se dirigen hacia un mismo punto, la distribución exponencial.

Algunos ejemplos de esto son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas, el tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable.
El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (λ).
El tiempo esperado entre llegadas es 1/ λ
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ
20 clientes por hora, entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ λ
1/20 = 0.05 horas o 3 minutos.

Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas. Generalmente se supone una distribución exponencial, y esto depende del comportamiento de las llegadas.

La forma algebraica de la distribución exponencial es:
P(tiempo de servicio ≤ t) =1- e^(-μt)
Donde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)


Grafica.
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Definición.

La distribución exponencial devuelve la probabilidad de una variable aleatoria continua siguiendo una distribución exponencial. Se usa para la planeación del tiempo entre dos sucesos.
Esta distribución se puede usar en diversos casos tales como:el tiempo que tardara una maquina de cajero automático en entregar efectivo. Esta función puede usarse para determinar la probabilidad de que el proceso tarde como máximo un minuto.
La definición matemática formal es:
Una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial su densidad de probabilidad está dada por:
0.13744Problemas propuestos al programa.1.- El personal de la compañía Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesión en la Terminal tiene una distribución exponencial con media de 36 minutos, encontrar:La probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos.SOLUCIÓN:
1/β =36 β =1/36 y la función de densidad es f(x)= 1/36 * e-1/36*x x ≥ 0
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B>0, es el parámetro para este modelo.
P(X ≤ 30) = = 0.565


2.- El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media de 22 minutos.

Propiedades.

  1. Su esperanza es α.
  2. Su varianza es α2.
  3. Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20 años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para otro que tenga 60 años.
  4. Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ.
a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.


b) El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts?

Demostración.

Dado que la distribución exponencial es una distribución derivada de la función gama, se demostrara la función gama y se dará una explicación de porque se obtiene la distribución exponencial a partir de la anterior.
SOLUCIÓN:a) Definamos una variable aleatoria x que representa el tiempo de reparación (en minutos) de las máquinas y sigue una distribución exponencial de parámetro 22
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Si α es un entero positivo, entonces

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Demostracion:

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λ = (E x )-1 =. Por lo tanto, la función de densidad de esta variable es:
La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que diez minutos es:
b) De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparación dado, el costo de reparación se obtendrá a partir del número total de fracciones de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30. (Todos, este ultimo inclusive, se cobran a 2000 pesetas). Teniendo esto en cuenta, se observa que una reparación costara 4000 pesetas siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior o igual a 60
066615564724052760472405276052760665).().(C).().(C).p,N,ox(P
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Grafica


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Problemas de aplicación.

Problema 1. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25% años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que

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Ejemplo 2 Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de fallaB=5. Sí 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?Solución:
La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:

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Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,


n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años

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Ejemplo 3. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?
Solución:

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nos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3
x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 díasp = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276
q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724

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=0.11587 + 0.02157 =0.13744




Problemas propuestos al programa.

1.- El personal de la compañía Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesión en la Terminal tiene una distribución exponencial con media de 36 minutos, encontrar:La probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos.

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2.- El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media de 22 minutos.a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos.b) El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000 pts?

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b) De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparación dado, el costo de reparación se obtendrá a partir del número total de fracciones de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30. (Todos, este ultimo inclusive, se cobran a 2000 pesetas). Teniendo esto en cuenta, se observa que una reparación costara 4000 pesetas siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior o igual a 60 minutos (y así cada fracción de la segunda media hora se cobrará como una media hora entera). Así:

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Bibliografía

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minutos (y así cada fracción de la segunda media hora se cobrará como una media hora entera). Así:
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